Berekening contante waarde regelmatige betalingsreeksen

Bij contante-waardeberekeningen van betalingsreeksen is de vraag welke betalingen op samengestelde intrest moeten worden uitgezet om op termijn de beschikking te hebben over een vooraf vastgesteld bedrag.

Bij de contante waarde van een reeks betalingen is, evenals bij de eindwaarde van een reeks, het volgende van belang.

• Elk van de betalingen noemt men een termijn, terwijl het tijdsverloop tussen twee opeenvolgende termijnen als periode wordt aangeduid.
• Vervallen de betalingen aan het begin van de perioden, dan spreken we van prenumerando betalingen; vervallen ze daarentegen aan het eind van de perioden, dan spreken we van postnumerando betalingen.

Ook bij de contante-waardeberekening van een regelmatige reeks betalingen rekenen we weer met de algemene formule voor een afdalende meetkundige reeks:

waarbij:

a = de eerste term van de meetkundige reeks;
r = de reden van de meetkundige reeks;
n = het aantal termen van de meetkundige reeks.

In de financiële literatuur wordt hiervoor ook wel de volgende 'kleine a'-schrijfwijze gebruikt:

CW = termijnbedrag * a_n-p

met:

p = de samengestelde intrestvoet;
n = het aantal perioden.

Voorbeeld 1

Bereken de contante waarde van een dadelijk ingaande postnumerando reeks van zeven te ontvangen jaartermijnen van elk € 1.000 bij een intrestvoet van 5,5% per jaar.

Schematisch volgens het kasstroomdiagram:

Van elk der betalingen van € 1.000 moeten we in dit geval de contante waarde berekenen per het begin van het eerste jaar:

Invulling van de formule voor een afdalende meetkundige reeks geeft:

Voorbeeld 2

Bereken de contante waarde van een vijf jaar uitgestelde reeks postnumerando ontvangsten groot € 400 die gedurende zes jaar wordt uitbetaald bij een intrestvoet van 4% per jaar.

Schematisch volgens het kasstroomdiagram:

Hierbij passen we de formule voor de afdalende reeks 'dubbel' toe: één keer over de totale periode van elf termijnen, minus een correctie voor de eerste vijf termijnen.

Berekening contante waarde van regelmatige betalingsreeksen postnumerando, prenumerando en minus correctie.

Postnumerando reeks (voorbeeld 1)

Bij de berekening in Excel van de contante waarde van een reeks gelijke bedragen maken we opnieuw gebruik van de basisfunctie HW(rente;aantal-termijnen;bet;tw;type_getal). Invulling van de functieargumenten in de cellen B2 tot en met B8 in het werkblad Berekening contante waarde van regelmatige betalingsreeksen – postnumerando reeks geeft nu een functie-uitkomst voor HW van -€ 5.682,97 in cel B9.

Prenumerando reeks (voorbeeld 1)

Bij een prenumerando reeks (type_getal = 1) ontstaat het beeld volgens het werkblad Berekening contante waarde van regelmatige betalingsreeksen – prenumerando reeks.

Minus correctie (voorbeeld 2)

Zonder de formule uit te schrijven ziet toepassing in Excel er nu uit als in werkblad Berekening contante waarde van regelmatige betalingsreeksen – minus correctie.

Reeks gelijke bedragen – postnumerando reeks (voorbeeld 1)

In de kolommen C tot en met F staan de samenhangende basisfuncties opgenomen met de bijbehorende functie-uitkomsten in rij 9. Uit kolom D is bijvoorbeeld op te maken dat bij het berekende beginkapitaal van -€ 5.682,97 – in combinatie met een intrestvoet van 5,5% over zeven jaar – de termijnbetaling € 1.000 bedraagt. Omdat sprake is van een postnumerando reeks is de parameter type_getal gelijk aan 0.

Reeks gelijke bedragen – prenumerando reeks (voorbeeld 1)

De prenumerando reeks is nu groot:

en schematisch:

Het verschil met de postnumerando reeks is gelijk aan de factor (1+ r):

€ 5.682 * (1+ 0,055) = € 5.995

Minus correctie (voorbeeld 2)

In de cellen B2:B9 is de contante waarde berekend voor de elfjarige periode (HW1 = € 3.504,19), in de cellen C2:C9 voor de te corrigeren vijfjarige periode (HW2 = € 1.780,73). De einduitkomst is gelijk aan het verschil: € 3.504,19 – € 1.780,73 = € 1.723,46 (cel D9).