Een rendementsrisicomatrix in Excel

Het rendement van een gediversifieerde portefeuille van investeringen of beleggingen is eenvoudig te bepalen op basis van het gewogen gemiddelde van de verwachte rendementen van de individuele investeringen of beleggingen. Als we voortborduren op het voorbeeld van Covariantie, correlatie en regressie bij diversificatie en uitgaan van de portefeuille die voor de helft is samengesteld uit 'aandelen met een hoog risicoprofiel' en voor de helft uit 'overheidsobligaties', dan is het te verwachten rendement 0,5 x (6,68%) + 0,5 (2,87%) = 4,77%.

De risicograad van een gediversifieerde portefeuille die is samengesteld uit twee beleggings- of investeringscategorieën (A en B) berekenen we met behulp van de volgende vergelijking:

Var (portefeuille) = X_A² Var _A + 2 X_A X_B COV_AB + X_B² x Var _B

Waarbij X_A en X_B de relatieve gewichten weergeven van de categorieën A en B in de portefeuille.

Als we de vergelijking invullen voor de bovenstaande portefeuille, bedraagt de variantie:

Var (AB) = 0,5² x 0,503 + 2 x 0,5 x 0,5 x (-0,1145) + 0,52 x 0,048 = 0,08038%

Door de negatieve covariantie (-0,1145) leidt portefeuillediversificatie duidelijk tot vermindering van het rendementsrisico, ten opzichte van een berekening waarbij we geen rekening houden met de covariantie maar uitsluitend met de wegingsfactoren:

Var (A) + Var (B) = 0,5 x 0,503 + 0,5 x 0,048 = 0,275%

Als we de risicometing van de uit twee categorieën opgebouwde portefeuille uitdrukken als standaarddeviatie, wordt de uitkomst:

SD_AB = √Var(AB) = √0,08038 = 2,835%

Bij een positieve covariantie leidt portefeuillevorming tot een verhoging van het rendementsrisico!

Als we onze blik verruimen naar een portefeuille die bestaat uit n categorieën beleggingen, krijgen we voor het rendement:

Rend (portefeuille) = X₁ Rend₁+ X₁ Rend₁+ ..... + X_n Rend_n

waarbij X₁ tot en met X_n de gewichten aangeven van de verschillende categorieën in de portefeuille en Rend₁ tot en met Rend_n de te verwachten rendementen.

Ten aanzien van het rendementsrisico voor een portefeuille die bestaat uit n categorieën, kijken we eerst naar de matrix die aansluit op de algemene variantievergelijking van een portefeuille met twee beleggings- of investeringscategorieën 1 en 2:

De diagonaal bestaande uit de cellen 11 en 22 geeft de variantie aan van de afzonderlijke categorieën A en B. De cellen buiten de diagonaal (12 en 21) geven de covariantiewaarden weer van de portefeuille. Omdat deze cellen een gelijke waarde vertegenwoordigen, worden ze in de vergelijking met twee vermenigvuldigd, zodat we krijgen:

Var (portefeuille) = X₁² Var₁ + 2 X₁ X₂ COV₁₂ + X₂² Var₂

Deze matrix gebruiken we als opstapje om te komen tot de matrix die behoort bij een portefeuille die geen twee, maar N verschillende beleggings- of investeringscategorieën bevat:

We zien dat de structuur identiek is en dat de diagonaal, bestaande uit de cellen 11 tot en met NN de variantie van de verschillende categorieën 1 tot en met N weergeeft. Alle cellen buiten de diagonaal geven de covariantiewaarden van de portefeuille weer. Omdat deze cellen twee aan twee een gelijke waarde vertegenwoordigen (bijvoorbeeld 12 en 21, 13 en 31, 1N en N1), worden ze in de vergelijking weer met twee vermenigvuldigd.

Als we (als voorbeeld) de vergelijking uitschrijven voor drie categorieën (de linkerbovenhoek bestaande uit de eerste drie rijen en eerste drie kolommen van het voorgaande schema), krijgen we:

Var (portefeuille) = X₁² Var₁ + X₂² Var₂ + X₃² Var₃ + 2 X₁ X₂ COV₁₂ + 2 X₁ X₃ COV₁₃ + 2 X₂ X₃ COV₂₃

Bij de rendementsrisicomatrix van het werkblad Rendementsrisicomatrix in Excel_1 hebben we het werkblad Rendement en risico van diverse beleggingen gecombineerd met het voorgaande matrixmodel. Daartoe hebben we in het werkblad Rendementsrisicomatrix in Excel_1:

• het bereik A41:G57 toegevoegd;
• het bereik A1:F26 van het werkblad Rendement en risico van diverse beleggingen verborgen gehouden;
• de van belang zijnde parameters in het bereik A27:F39 zichtbaar gehouden.

In het bereik A41:G57 is het mogelijk het rendement en risico te berekenen bij portefeuilles die samengesteld zijn uit een of meer van de vijf beleggingscategorieën uit het werkblad Rendement en risico van diverse beleggingen. Daartoe wordt in cel B41 eerst het totaal te beleggen bedrag ingevuld en wordt dit bedrag in de cellen B42:F42 procentueel verdeeld over maximaal vijf categorieën. Cel G42 hebben we – ter controle – voorwaardelijk opgemaakt; deze is groen gekleurd als het bedrag in cel B41 volledig (dus voor honderd procent) is toegedeeld.

Na invulling berekent het model achtereenvolgens:

• rij 43: de verdeling van de bedragen aan de hand van het bedrag (B41) en de verdeelsleutel (B42:F42);
• rij 44: het te verwachten rendement in procenten, dat we gelijk gesteld hebben aan het historisch behaalde rendement in rij 28;
• rij 45: het te verwachten rendement in euro's, dat gelijk is aan het product van de voorafgaande rijen 43 en 44.

In het bereik A47:G57 hebben we aansluitend het portefeuillerisico berekend. De diagonaal, bestaande uit de cellen B48, C49, D50, E51 en F52 geeft het variantiedeel weer van de (maximaal) vijf verschillende categorieën in de portefeuille. Alle cellen buiten de diagonaal geven het covariantiedeel weer van de portefeuille. In dit bereik zijn weer identieke waarden te onderkennen voor vergelijkbare combinaties (cel B49 = cel C48, cel D48 = cel B50, enzovoort).

De totale variantie in cel G53 is gelijk aan de vierkantstelling van de matrix. Of een portefeuille – als mix van de vijf opgenomen categorieën – leidt tot een vermindering van rendementsrisico, is op te maken door de variantie van de portefeuille (cel G53) te vergelijken met de gewogen variantie waarbij geen rekening is gehouden met diversificatie (cel G56). Daartoe zijn in rij 56 de verdeelsleutels uit rij 42 vermenigvuldigd met de 'enkelvoudige' variantie in rij 32.

De standaarddeviatie – als maatstaf van rendementsrisico – is in cel G54 weergegeven voor een gediversifieerde portefeuille. De standaarddeviatie waarbij geen rekening is gehouden met diversificatie, is opgenomen in cel G57 (zie het werkblad Rendementsrisicomatrix in Excel_1).

Tot slot hebben we in het werkblad Rendementsrisicomatrix in Excel_2 het model compleet ingevuld, waarbij we € 1.000 (cel B41) gelijkelijk hebben belegd over de vijf categorieën (B42:F42). We zien dat ook bij deze voorbeeldportefeuille sprake is van rendementsrisicovermindering als we de variantie in cel G53 vergelijken met de variantie in cel G56. Hetzelfde geldt voor de standaarddeviatie in de cellen G54 en G57 (zie het werkblad Rendementsrisicomatrix in Excel_2).