Het Black-Scholes-Merton-model

De oorspronkelijke Black-Scholes-vergelijking, die de prijs C van een Europese calloptie berekent, ziet er als volgt uit:

C = S * N(d₁) - E * e^-r*t * N(d₂)

Met opneming van de parameter q luidt de Black-Scholes-Merton-variant:

C = S * e^-q*t * N(d₁) - E * e^-r*t * N(d₂)

De oorspronkelijke Black-Scholes-vergelijking die de prijs P van een Europese putoptie berekent, luidt:

P = -S * N(-d₁) - E * e^-r*t * N(-d₂)

Met opneming van de parameter q luidt de Black-Scholes-Merton-variant:

P = -S * e_-q*t * N(-d₁) + E * e_-r*t * N(-d₂)

De hulpvariabele d₁ kent in het oorspronkelijke model de volgende opbouw:

Merton heeft d₁ als volgt uitgebreid:

De hulpvariabele d₂ blijft, als afgeleide van d₁ ongewijzigd:

We nemen als voorbeeld de prijsvorming voor een calloptie op een aandeel van onderneming ABC, uitgaande van de volgende gegevens:

Veronderstel de situatie waarin de huidige aandelenkoers € 52 is. Persoon X beschikt over de optie om dit aandeel over een half jaar te kopen voor de prijs van € 50 (dat wil zeggen intrinsieke waarde van € 52 – € 50= € 2).

De risicovrije intrest is 10% per jaar en de volatiliteit 20%.

We bereken met behulp van de Black-Scholes-formule de theoretische optiewaarde van de call ABC en vergelijken deze met de actuele beurskoers van € 5,95.

We doen hetzelfde voor de putoptie en vergelijk deze met de actuele koers van € 1,05.

De bekende gegevens ingevoerd in B2:B7.

De bijgewerkte prijsvergelijking voor de call is terug te vinden in B14:

en voor de put in B21:

We zien dat de berekende callprijs (B14 = 4,80) lager ligt dan in het oorspronkelijke model (sheet 1: B12 = 5,56). Voor de put is het omgekeerde het geval: in het oorspronkelijke model is de prijs 1,1263 (sheet 1: B18) en in het aangepaste model 1,3983 (B21).

De verklaring ligt voor de hand: de houder van de call moet – tot het eventuele koopmoment – afzien van (tussentijdse) dividenduitkeringen, de houder van de put heeft – tot het eventuele verkoopmoment – hier nog het genot van.