Risicometing bij verschillende beleggingsvormen: variantie (VAR) en standaarddeviatie (SD) als maatstaven

We zien in het werkblad Rendement en risico van diverse beleggingen dat bij aandelen met een hoog risicoprofiel het hoogste gemiddeld rendement wordt behaald over een periode van 25 jaar. Daartegenover staat dat ook de variantie van de behaalde rendementen het hoogst is in deze categorie. Het omgekeerde geldt voor schatkistpapier, waar zowel het gemiddeld behaalde rendement als de variantie het laagst scoort.

De variantie (Var) van een steekproef met n waarnemingen (ook wel aangeduid als σ²_x) berekenen we daarbij als volgt:

waarbij X de verschillende individuele rendementen weergeeft en het rekenkundig gemiddelde over alle rendementen. De parameter n geeft het aantal waarnemingen in de steekproef weer.

Met behulp van de ingebouwde Excel-functie VAR(getal 1;getal 2;...) hebben we in rij 32 van het werkblad Rendement en risico van diverse beleggingen de variantie berekend bij de verschillende beleggingscategorieën. Hierop aansluitend is in rij 33, met behulp van de ingebouwde Excel-functie STDEV(getal 1;getal 2;...) de standaarddeviatie (ook wel aangeduid als σ_x) bepaald als zijnde de wortel van de variantie:

De standaarddeviatie (SD) hebben we nodig om de spreiding rond het rekenkundig gemiddelde te bepalen, uitgaande van een zogenaamde normale verdeling. Bij een normale verdeling ziet de kansverdeling van waarnemingen er ideaaltypisch als volgt uit:

Hierop sluit de volgende verdeling aan:

• tussen de grenzen van -1 SD en +1 SD bevindt zich 68,26 procent van de waarnemingen;
• tussen de grenzen van -2 SD en +2 SD bevindt zich 95,44 procent van de waarnemingen;
• tussen de grenzen van -3 SD en +3 SD bevindt zich 99,84 procent van de waarnemingen.

Als we deze uitgangspunten vertalen naar een normale verdeling, dan ontstaan – tussen de grenzen van min en plus 3 maal de standaarddeviatie – een aantal spreidingsdiagrammen ten opzichte van het gemiddelde rendement.

In de spreidingsdiagrammen is duidelijk waarneembaar dat de spreiding rond het gemiddelde ­ gemeten aan de hand van de uiterste standaarddeviatiegrenzen van plus en min 3 maal de standaarddeviatie – het hoogst is bij aandelen met een hoog risicoprofiel (het werkblad Spreiding bij aandelen met hoog risico) en het laagst bij risicoarm schatkistpapier (het werkblad Spreiding bij schatkistpapier).

De spreidingsdiagrammen hebben we samengesteld met behulp van de invoegtoepassing Histogram. Hierna lichten we de werking van deze invoegtoepassing toe aan de hand van het spreidingsdiagram voor de categorie overheidsobligaties (het werkblad Spreiding bij overheidsobligaties).

Invoegtoepassing Histogram

Als Analysis Toolpak is geïnstalleerd (zie Financieel rekenen in Excel), is het mogelijk de optie Histogram te gebruiken voor het maken van een frequentieverdeling. Dit is een goede basis om vervolgens een staafdiagram te maken van de gevonden frequentieverdeling.

Om gebruik te kunnen maken van de optie Histogram worden vooraf de klassenwaarden handmatig in een bereik ingevuld. Voor de categorie overheidsobligaties hebben we de klassenwaarden in het werkblad Rendement en risico van diverse beleggingen als volgt gedefinieerd binnen het bereik A1:A16.

We zijn daarbij uitgegaan van:

• het rekenkundig gemiddelde (cel E28 = 2,87%);
• de uiterste benedengrens van minus 3 maal de standaarddeviatie (cel E38 = -3,68%);
• de uiterste bovengrens van plus 3 maal de standaarddeviatie (cel E37 = 9,41%);
• klassengrootten van 1% tussen de bovengenoemde grenzen.

Vervolgens kiezen we via het menu Extra – Gegevensanalyse voor het onderdeel Histogram, dat we als volgt invullen:

In het vak Invoerbereik is verwezen naar de verdeling van de rendementen voor overheidsobligaties van het werkblad Rendement en risico van diverse beleggingen (E$2:$E$26) en in Verzamelbereik naar het bovenstaande, handmatig ingevulde bereik van het werkblad Rendement en risico van diverse beleggingen ($A$1:$A$16). Als uitvoerbereik hebben we het naastgelegen bereik ($C$1:$C$17) gekozen. De optie Labels hebben we aangevinkt. Als we na invulling op OK klikken, ontstaat de volgende frequentieverdeling in het gedefinieerde uitvoerbereik van het werkblad Rendement en risico van diverse beleggingen, naast de al eerder ingevulde klassen in A1:A16:

Deze frequentieverdeling vormt de basis van de staafdiagram in het werkblad Rendement en risico van diverse beleggingen. Om de frequentieverdeling in een staafdiagram te vertalen doorlopen we vervolgens nog de volgende stappen:

We gaan op een willekeurige cel staan in het bereik D2:D17 en kiezen voor Invoegen – Grafiek.

Vervolgens kiezen we in het venster Stap 1 van 4 voor Grafiektype – Kolom – Volgende:

Hierna verschijnt het venster Stap 2 van 4 en bepalen we de gegevensbron voor de staafgrafiek op het tabblad Gegevensbereik.

Via het tabblad Reeks bepalen we bovendien de labels voor de categorieas (x-as).

Nadat we op Volgende hebben geklikt, verschijnt het venster Stap 3 van 4 en vullen we de tekst in voor de grafiektitel, de categorieas (X) en de waardeas (Y).

In het venster Stap 4 van 4 voltooien we de wizard en de staafdiagram verschijnt uiteindelijk als object in het werkblad.