Samenvatting

Met behulp van de Black-Scholes-vergelijking wordt de prijs C van een Europese calloptie berekent. In dit artikel is deze vergelijking nader uitgewerkt en worden de parameters benoemd. Daarnaast is schematisch de invloed weergegeven die veranderingen in parameterwaarden hebben op de prijsvorming van de opties. Deze veranderingen worden nader toegelicht. Het aan dit onderwerp gerelateerde artikel Rente-, valuta- en rendementsrisico's, kunt u eveneens raadplegen in deze kennisbank.

Wat behelst de Black-Scholes vergelijking?

De Black-Scholes-vergelijking, die de prijs C van een Europese calloptie berekent, ziet er als volgt uit:

C = S * N(d₁) – E * e^-r*t * N(d₂)

De vergelijking die de prijs P van een Europese putoptie berekent, lijkt hier erg veel op:

P = -S * N(-d₁) – E * e^-r*t * N(-d₂)

De hulpvariabelen d₁ en d₂ kennen daarbij de volgende opbouw:

en

De aanduiding N(d) geeft de gecumuleerde waarschijnlijkheid weer dat een standaardnormale verdeling een waarde kleiner (of gelijk) aan d heeft.

De parameters hebben de volgende betekenis:

• de actuele aandelenkoers geven we aan met S;
• de standaarddeviatie – die vast te stellen is aan de hand van een steekproef van historische aandelenkoersen – met V of σ;
• de risicovrije rendementsvoet – die te halen is op onder andere risicovrij staatspapier – met r;
• de uitoefenprijs met E;
• de resterende tijd tot de expiratie – gemeten in delen van een jaar – met t.

Deze parameters zijn doorgaans beschikbaar via de financiële media en de beurs, met uitzondering van de standaarddeviatie als volatiliteitsmaatstaf voor de onderliggende waarde. Deze zal in veel gevallen berekend moeten worden aan de hand van historische gegevens.

In de rekenvoorbeelden is uitgegaan van een gegeven volatiliteit.

Voor nadere uitleg van de begrippen volatiliteit, standaarddeviatie (en het nauw daaraan verwante begrip variantie) en aansluitende voorbeelden zie Renterisico's ('Risicometing van verschillende beleggingsvormen: variantie (VAR) en standaarddeviatie (SD) als maatstaven' ).

De gevoeligheid van de uitkomst voor de invoerwaarden

De prijsvorming van opties blijkt als volgt gevoelig voor veranderingen in onderliggende parameterwaarden:

Ten aanzien van de gevoeligheid van de callprijs geldt het volgende:

• Als de aandelenkoers stijgt, zal het verschil tussen de gestegen aandelenkoers en de uitoefenprijs groter worden waarmee de optie in waarde toeneemt.
• Als de uitoefenprijs toeneemt, zal aan het einde van de looptijd meer betaald moeten worden om het aandeel te kunnen verwerven, waardoor de optiewaarde zal dalen.
• Als de intrestvoet toeneemt, stijgt de groeivoet van de aandelenkoers en daarmee de optiewaarde.
• Als de looptijd van de optie toeneemt, kan er langer worden gewacht en daarmee beter worden geanticipeerd op de ontwikkelde aandelenkoers waardoor de waarde toeneemt.
• Als de volatiliteit van de onderliggende waarde stijgt, wordt de kans groter dat de aandelenkoers sterk zal stijgen of dalen gedurende de looptijd van de optie.
• Omdat de houder van de optie niet meer kan verliezen dan de betaalde premie, heeft een stijging van de volatiliteit een gunstig effect op de optiewaarde.

Voor putopties geldt – bij tegengestelde gevoeligheid, maar dan in omgekeerde bewoordingen – hetzelfde als voor de callopties.

Conclusie

De gehanteerde parameters om te komen tot een prijsbepaling voor opties zijn beschikbaar via financiële media en de beurs. Alleen de standaarddeviatie volatiliteitsmaatstaf voor de onderliggende waarde moet worden berekend aan de hand van historische gegevens. Van invloed op de prijsvorming van opties zijn veranderingen in parameterwaarden, denk daarbij aan de stijging van de actuele aandelenkoers, stijging van de volatiliteit V, stijging van de uitoefenprijs E, toename van de tijd tot expiratie t en tot slot de stijging van de risicovrije rendementsvoet r. Deze gegevens moet u meenemen bij het vaststellen van de prijs.