Samenvatting

Een investeringsberekening bestaat uit diverse elementen zoals onder andere het element tijd, het element vermogenskosten en het element nominale waarde. Deze en andere elementen komen uitgebreid aan de orde in dit artikel. Naast de behandeling van financieel-wiskundige methoden met betrekking tot de vaststelling van de contante waarde en de eindwaarde is ook ingegaan op de financieel-wiskundige methode betreffende periodieke betalingen. Ook treft u diverse rekenvoorbeelden met formules aan. Tot slot, u kunt met de in dit artikel opgenomen link de werkbladen Investeringsselecties downloaden.

De elementen van dynamische investeringsberekeningen

Bij het maken van dynamische investeringsberekeningen zijn diverse elementen van belang. De elementen komen één voor één aan de orde en zijn met behulp van voorbeelden inzichtelijk gemaakt.

De investering ofwel de initiële kasstroom

Hieronder vallen de uitgaven die aan het begin van de investeringsperiode worden gedaan, meestal uitgaven in verband met de aanschaf van een investeringsobject (bijvoorbeeld een machine).

De betekenis van de exploitatiekasstroom

Een investering kan leiden tot veranderingen in de exploitatie. De aanschaf van een nieuwe machine kan bijvoorbeeld leiden tot hogere of lagere loonkosten, energiekosten, onderhoudskosten, enzovoort. Dergelijke veranderingen in de operationele kasstromen moeten als exploitatiekasstromen bij het maken van een investeringsanalyse worden meegenomen.

De liquidatieopbrengst ofwel de restwaarde

In sommige gevallen heeft een investeringsobject nog een bepaalde waarde aan het einde van de investeringsperiode. Dit wordt de restwaarde genoemd. Bij verkoop van het investeringsobject aan het einde van de investeringsperiode levert dit zogenoemde liquidatieopbrengsten op. Bij het maken van een investeringsanalyse moeten deze inkomsten aan het einde van de investeringsperiode worden meegenomen.

Overigens is het ook mogelijk dat er geen sprake is van (positieve) liquidatieopbrengsten, maar van (negatieve) liquidatiekosten. In dat geval moeten deze als een uitgave aan het einde van de investeringsperiode worden meegenomen.

De rol van de tijdfactor bij kasstromen

Dynamische investeringsberekeningen worden gedaan met behulp van financieel-wiskundige methodes. Daarbij wordt rekening gehouden met het aspect tijd. Dat betekent dat de factor tijd bij het maken van een investeringsberekening wordt meegenomen bij de 'beoordeling' van de kasstromen die met een investering samenhangen.

Hierdoor wordt rekening gehouden met het feit dat een geldbedrag dat vandaag beschikbaar is, meer waard is dan een geldbedrag van gelijke (nominale) hoogte dat pas in de toekomst beschikbaar komt (bijvoorbeeld pas na één of twee jaar). Dit wordt de tijdwaarde van geld genoemd.

Om die reden moet een uitgave die vandaag moet worden gedaan bij het maken van een investeringsberekening, 'negatiever' worden gewaardeerd dan een uitgave van gelijke hoogte die pas over twee jaar dient te worden gedaan. En vergelijkbaar moet een geldbedrag dat vandaag als inkomsten binnenkomt, 'positiever' worden gewaardeerd dan een zelfde bedrag aan inkomsten op een later moment.

De vermogenskosten uitgedrukt in rentepercentage (i)

Om deze 'correctie in de waardering' van de uitgaven en inkomsten te kunnen bepalen, moet behalve de bovengenoemde factor tijd (het moment waarop de inkomsten c.q. uitgaven vallen) ook een andere factor bekend zijn, namelijk de vermogenskosten. Deze vermogenskosten worden uitgedrukt in een rentepercentage dat aangeeft hoe groot de tijdwaarde van het geld is.

Indien het rentepercentage bijvoorbeeld wordt gesteld op 9%, betekent dit dat voor het betreffende bedrijf een uitgave van 100 euro nu op dit moment ongeveer evenveel waard is als een uitgave van 109 euro over een jaar.

Deze vermogenskosten zijn niet hetzelfde rentepercentage als dat van de te betalen rente voor kortlopende of langlopende kredieten. Het gaat om een rentepercentage dat individueel wordt bepaald door de directie. Dit rentepercentage voor de vermogenskosten ligt vrijwel zeker boven de rente over kapitaal op de kapitaalmarkt. Dit als gevolg van het feit dat de te beoordelen investering in meer of mindere mate een risico voor het bedrijf vormt. Dit risico moet worden meegenomen door het toepassen van een bijpassende risicotoeslag (percentage boven op de rente op de kapitaalmarkt).

Feitelijk geven de vermogenskosten aan hoeveel rendement het bedrijf minimaal moet realiseren bij een investering om de kosten van het aan haar ter beschikking gestelde vermogen terug te kunnen verdienen. Dit vermogen bestaat uit het eigen vermogen en het vreemde vermogen. De kosten van het eigen vermogen bestaan uit het rendement dat de aandeelhouders willen realiseren middels dividend en koersstijgingen. De kosten van het vreemd vermogen bestaan uit de te betalen rente.

De vermogenskosten kunnen per bedrijf verschillen, afhankelijk van het risicoprofiel van een bedrijf. Dit risicoprofiel is onder andere afhankelijk van de branche waarin een bedrijf werkzaam is, maar ook van de financiële soliditeit van een bedrijf (verhouding eigen vermogen ten opzichte van vreemd vermogen).

Het is eveneens mogelijk dat de vermogenskosten van één bedrijf per soort investering verschillen, afhankelijk van het risico dat de betreffende investering voor dat bedrijf met zich meebrengt. Een vervangingsinvestering brengt over het algemeen minder risico met zich mee dan bijvoorbeeld een diversificatie-investering.

De betekenis van de nominale waarde (K_n)

De nominale waarde is de waarde van inkomsten of uitgaven op het tijdstip dat deze binnenkomen respectievelijk gedaan worden. Een inkomst van 100 euro op tijdstip t heeft een nominale waarde van 100 euro, evenals een inkomst van 100 euro op tijdstip t + 2. Er is dan nog geen rekening gehouden met de tijdwaarde van geld.

De contante waarde ofwel de huidige waarde (K_o)

De contante waarde of huidige waarde is het totale bedrag dat één of meerdere toekomstige betalingen (inkomsten en/of uitgaven) op dit moment waard is. De huidige waarde van een inkomst van 100 euro over twee jaar is op dit moment wellicht maar 85 euro (afhankelijk van het gehanteerde rentepercentage ofwel de vermogenskosten).

De berekende contante waarde is het resultaat van discontering vanaf het tijdstip van betaling naar de huidige waarde op dit moment. Dit komt neer op vermenigvuldiging van de nominale waarde van een betaling met de overeenkomstige disconteringsfactor:

Disconteringsfactor = 1 / qⁿ = 1 / (1 + i)ⁿ

In deze formule is 'q' gelijk aan 1 + het rentepercentage (de vermogenskosten), en 'n' het tijdstip (meestal in jaren) waarop de betaling valt. Bij discontering van een inkomst van 100 euro over twee jaar naar de huidige waarde tegen een rentepercentage van 10% is de disconteringsfactor dus:

1 / qⁿ = 1 / (1 + 0,1)² = 0,8264

Deze formule kan worden gebruikt om voor elke individuele betaling in een reeks betalingen (zowel inkomsten als uitgaven) de bijbehorende disconteringsfactor te bepalen.

De formule voor het berekenen van de contante waarde wordt dan:

Contante waarde (K_o) = nominale waarde (K_n) x disconteringsfactor

ofwel:

K_o = K_n x 1 / qⁿ

Door elke betaling in een reeks betalingen te vermenigvuldigen met zijn eigen bijbehorende disconteringsfactor, kan de contante waarde van elke betaling worden berekend. Door vervolgens het resultaat van deze berekeningen te sommeren, kan de totale contante waarde van de betalingenreeks worden bepaald.

Indien sprake is van betalingen in meerdere termijnen waarbij de bedragen telkens van gelijke hoogte zijn, is sprake van een bijzondere situatie. In dat geval kan de volgende formule worden gebruikt:

Contante waarde (K_o) = nominale waarde termijnen (e) x factor contante waarde

Factor contante waarde = (qⁿ - 1) / (qⁿ x (q - 1))

Deze factor contante waarde is feitelijk gelijk aan de som van de disconteringsfactoren die bij elke individuele betaling horen. Deze formule kan alleen worden toegepast als de betalingen telkens van gelijke hoogte zijn.

Voor enkele voorbeelden van contante waarde klik hier. X 

Voorbeeld Betaling in één keer aan het einde van de beoordelingsperiode

Voor een betaling van 250.000 euro (K_n), die aan het eind van het vijfde jaar ter beschikking komt (n = 5), moet de contante waarde berekend worden met een rente van 8% over de vergelijkingsperiode (q = 1,08).

Contante waarde (K_o) = nominale waarde (K_n) x disconteringsfactor

K_o = K_n x 1 / qⁿ
K_o = 250.000 x 1 / (1,08)⁵ =
250.000 x 0,680583 = 170.145,75 euro

Dit betekent dat onder de opgegeven voorwaarden een bedrag van 250.000 euro over vijf jaar evenveel waard is als een bedrag van 170.145,75 euro op dit moment.

Voorbeeld Betaling in meerdere termijnen

Aan het eind van elk jaar wordt pacht betaald ter hoogte van 50.000 euro. De pachtovereenkomst heeft een looptijd van vijf jaar. Wat is de huidige waarde van deze pachtovereenkomst? Ofwel, hoe hoog moet in vergelijking de totale pachtsom zijn over alle vijf jaren, wanneer dit bedrag aan het begin van de vijf jaar in één keer wordt betaald (bij een rente van 8%).

Contante waarde (K_o) = nominale waarde termijnen (e) x factor contante waarde

K_o = e x ((qⁿ - 1) / (qⁿ x (q - 1)))
K_o = 50.000 x (1,08⁵ - 1) / (1,08⁵ x (1,08 - 1))
K_o = 50.000 x 3,992710 = 199.635,50 euro

Dat betekent dat een pachtbetaling ter waarde van 199.635,50 euro aan het begin van de pachtperiode van vijf jaar gelijk is aan de optelling van de vijf bedragen van 50.000 euro die aan het eind van elk jaar moeten worden betaald.

De toekomstige waarde ofwel de eindwaarde (K_n)

De toekomstige waarde ofwel eindwaarde van inkomsten of uitgaven is het totale bedrag dat een reeks betalingen aan het einde van de betreffende betalingsperiode waard is. Deze waarde is het resultaat van zogenoemde kapitalisatie. Dit komt neer op vermenigvuldiging van de huidige of nominale waarde van een betaling (inkomst of uitgave) met de bijbehorende kapitalisatiefactor:

Kapitalisatiefactor = qⁿ = (1 + i)ⁿ

De kapitalisatiefactor van een betaling over twee jaar tegen een rente van 10% is dus

qⁿ = (1 + 0,1) ² = 1,21

De bovenstaande formule kan worden gebruikt om voor elke individuele betaling in een reeks betalingen (zowel inkomsten als uitgaven) de bijbehorende kapitalisatiefactor te bepalen.

De formule voor het berekenen van de toekomstige waarde (ofwel eindwaarde) wordt dan

Eindwaarde (K_n) = waarde op tijdstip t_o (K_o) x kapitalisatiefactor (qⁿ)

K_n = K_o x qⁿ

K_n = K_o x (1 + i)ⁿ

Met dit soort berekeningen wordt de waarde aan het einde van de beoordelingsperiode vastgesteld, die betrekking heeft op een of meerdere betalingen gedurende de beoordelingsperiode.

Door elke betaling in een reeks betalingen te vermenigvuldigen met zijn eigen bijbehorende kapitalisatiefactor, kan de toekomstige waarde van elke betaling worden berekend. Door vervolgens het resultaat van deze berekeningen te sommeren, kan de totale toekomstige waarde van de betalingenreeks worden bepaald.

Indien sprake is van betalingen in meerdere termijnen waarbij de bedragen telkens van gelijke hoogte zijn, is sprake van een bijzondere situatie. In dat geval kunnen de volgende formules worden gebruikt voor het berekenen van de toekomstige waarde:

Eindwaarde (K_n) = nominale waarde termijnen (e) x eindwaardefactor

Eindwaardefactor = (qⁿ - 1) / (q - 1)

Deze eindwaardefactor is feitelijk gelijk aan de som van de kapitalisatiefactoren die bij elke individuele betaling hoort. Deze formules kunnen alleen worden toegepast als de betalingen telkens van gelijke hoogte zijn.

Voor enkele voorbeelden van toekomstige waarde klik hier. X 

Voorbeeld Eenmalige betaling aan het begin van de beoordelingsperiode

Een aandeelhouder in een BV stelt uit eigen middelen het bedrijf een lening van 500.000 euro ter beschikking.

Voorwaarden: 7% rente per jaar, aflossing én rente worden aan het eind van het vijfde jaar in één keer aan de aandeelhouder uitgekeerd. Hoe hoog is de eindwaarde?

K_n = K_o x qⁿ
K₅ = 500.000 x (1 + 0,07)⁵
= 500.000 x 1,402552 = 701.276,00 euro

De aandeelhouder ontvangt dus na afloop van het vijfde jaar een bedrag van 701.276,00 euro.

Voorbeeld Meerdere betalingen van gelijke hoogte

Op de bankrekening van de aandeelhouder werd de afgelopen jaren na afloop van elk jaar 50.000 euro speciale winstuitkeringen overgemaakt. Rente 5% p.a.

Aangezien er momenteel sprake is van liquiditeitsproblemen bij het betreffende bedrijf, wordt overwogen om een overeenkomst te sluiten dat deze winstuitkeringen over de komende vijf jaar pas ter beschikking worden gesteld of uitbetaald na afloop van het vijfde jaar. Hoe hoog moet in dat geval de totale uitbetaling over vijf jaar zijn zodat de aandeelhouder neutraal staat tegenover het voorstel? Ofwel, wat is de vergelijkbare toekomstige waarde van vijf jaarlijkse betalingen van 50.000 euro?

Eindwaarde (K_n) = nominale waarde termijnen (e) x eindwaardefactor

K₅ = 50.000 x ((1,05⁵ - 1) / (1,05 - 1))
K₅ = 50.000 x 5,525631 = 276.281,55 euro

Dit betekent dat een eenmalige uitbetaling over vijf jaar van 276.281,55 euro voor de betreffende aandeelhouder eenzelfde waarde zal vertegenwoordigen als vijf jaarlijkse betalingen van 50.000 na afloop van elk jaar.

Financieel wiskundige berekening van periodieke betalingen (ofwel annuïteiten)

Beschreven is al hoe de

• Contante waarde

  (= de waarde van een betaling aan het begin van een vergelijkingsperiode) en de

• Eindwaarde

  (= de waarde van een betaling aan het einde van een vergelijkingsperiode)

vastgesteld kunnen worden.

Financieel-wiskundig kunnen ook periodieke betalingen van gelijke hoogte worden berekend, die het equivalent zijn van een eenmalige betaling aan het begin of aan het einde van een bepaalde vergelijkingsperiode. Deze periodieke betalingen worden annuïteiten genoemd. De periode kan gelijk zijn aan een jaar (dat wil zeggen de annuïteit bestaat uit jaarlijkse betalingen), maar kan ook betrekking hebben op andere perioden (bijvoorbeeld maanden of kwartalen).

Hierbij wordt een onderscheid gemaakt tussen de volgende situaties:

1. Een totaalbedrag dat nu moet worden voldaan

   (dat wil zeggen aan het begin van de vergelijkingsperiode) wordt in meerdere gelijkblijvende gedeelten betaald na afloop van iedere periode tussen nu en het einde van de vergelijkingsperiode.

2. Een totaalbedrag dat op een later tijdstip moet worden betaald

   (dat wil zeggen aan het einde van de vergelijkingsperiode) wordt in meerdere gelijkblijvende gedeelten betaald aan het einde van iedere periode tussen nu en de vervaldatum.

ad A) De hoogte van de periodieke bedragen wordt als volgt berekend:

bedrag dat nu moet worden betaald x annuïteitsfactor

Periodieke betalingen = waarde betaling op tijdstip t_o x annuïteitsfactor

e = K_o x annuïteitsfactor
Annuïteitsfactor = (qⁿ x (q - 1)) / (qⁿ - 1)
= ((1 + i) ⁿ x ((1 + i) - 1)) / ((1 + i)ⁿ - 1)

Voor een voorbeeld van een totaalbedrag dat nu moet worden voldaan, klik hier. X 

Voorbeeld Hoogte periodieke bedragen

De verzekeringsmaatschappij ABC deelt aan de verzekerde X mee dat zijn kapitaalverzekering met een verzekerde som van 250.000 euro binnenkort zal worden uitbetaald. De verzekeringsmaatschappij laat hem de keuze:

• nu in één keer 250.000 euro uitbetaald krijgen; of
• uitbetaling in tien gelijke jaarlijkse termijnen tegen een rente van 9% per jaar.

Berekening van de alternatieven

e = K_o x annuïteitsfactor
e = K_o x ((1 + 0,09)¹⁰ x ((1 + 0,09) -1)) / ((1 + 0,09)¹⁰ - 1)
e = 250.000 x 0,15582 = 38.955,02 euro

Wanneer de verzekerde dus kiest voor de uitbetaling in termijnen, ontvangt hij gedurende tien jaar telkens aan het eind van het jaar een bedrag van 38.955 euro. Over tien jaar dus een bedrag van nominaal 389.550 euro.

Conclusie

Er zijn verschillende vormen van dynamische investeringscalculaties. De ene methode gaat uit van absolute geldbedragen. Dit worden de vermogenswaardemethoden genoemd. De bekendste vorm hiervan is de netto contante waarde. De andere methode is gebaseerd op percentages. De bekendste vorm daarvan is de interne rentabiliteit.

Direct aan de slag met Investeringsselecties: werkbladen in excel!