Optieprijzen berekenen met het binomiale model

Met het binomiale model is het wel mogelijk om de prijsontwikkeling in de tijd te volgen voor zowel de onderliggende waarde ('waardenboom') als voor de optie ('optieboom').

De term 'binomiaal' wil zeggen dat het model steunt op een koersontwikkelboom die – bij toename van het aantal deelperioden – steeds verder uitwaaiert en waarbij de betrouwbaarheid toeneemt met het aantal stappen.

De praktijk wijst uit dat het model een redelijke mate van betrouwbaarheid heeft vanaf circa vijf stappen en dat de modeluitkomsten vanaf dit stadium tevens tenderen naar die van het Black-Scholes-model.

Werkbladen in deze Excelsheet

Werkblad Binomiale prijsberekening voor opties in tien stappen

Bekijk screenshot van dit werkblad

Gebruiksinstructie

Doel van deze tool

In te vullen velden

Resultaten

Doel van deze tool

De optieprijsontwikkeling in de tijd volgen voor zowel de onderliggende waarde als voor de optie. In het werkblad Binomiale prijsberekening voor opties in tien stappen hebben we een koersontwikkelboom met tien stappen uitgezet voor zowel de optie als de onderliggende waarde. Daarbij hebben we 1:1-aansluiting gezocht bij het voorbeeld van het werkblad Black-Scholes-prijsberekening voor call- en putopties.

In te vullen velden

De benodigde invoer voor het binomiale model sluit voor een deel aan op de al bekende invoer van het Black-Scholes-model. Deze parameters zijn opgenomen in B2, B3, B4, B5 en B7.

In B6 kan worden opgegeven of het de prijs van een 'call' of 'put' betreft.

Het bekende Black-Scholes-rekensjabloon hebben we ook in het werkblad Binomiale prijsberekening voor opties in tien stappen opgenomen in het bereik A45:B62. De invoer van het sjabloon (B46:B50) is rechtstreeks gekoppeld aan de invoer voor het binomiale model. De uitkomsten van het Black-Scholes-model verschijnen – ter vergelijking – automatisch in C15 (call) en D15 (put).

Parameters die specifiek betrekking hebben op het binomiale model, zijn opgenomen in B9 tot en met B13.

Resultaten

Bij de waardenboom wordt, uitgaande van de beginwaarde van de onderliggende waarde (B17=B2), van links naar rechts gerekend, met uiteindelijk aan de rechterzijde een waaier van tien mogelijke eindwaarden (bij expiratie) in kolom L.

Daarbij beweegt de onderliggende waarde steeds met een vaste opwaartse (u) of neerwaartse (d) factor van links naar rechts.

Voor de waardenboom nemen we als voorbeeld cel C18, dit is de onderste cel van de eerste aftakking:

C18=$B$2*$B$10^(C$16-$M18)*$B$11^$M18

ofwel

C18= S * u⁰ * d¹ = S * d = 52 * 0,9653 = 49,73

Als we – ter vergelijking – de cursor verplaatsen naar de bovenste cel van de eerste aftakking krijgen we:

C17=$B$2*$B$10^(C$16-$M17)*$B$11^$M17

ofwel

C17 = S * u1 * d0 = S * u = 52 * 1,0457 = 54,38

Iedere volgende op- en neerwaartse aftakking kent in de kolommen D tot en met L steeds eenzelfde structuur, waarbij de opgaande (u) respectievelijk de neerwaartse factor (d) volgens de volgende vergelijkingen zijn gedefinieerd:

B10=EXP(B7*WORTEL(B9))

ofwel