Het Black-Scholes-model

In 1973 verscheen het duo Black & Scholes met het (nog steeds) baanbrekende artikel 'The pricing of Options and Corporate Liabilities', waarin ze de prijsvorming van opties in directe relatie brengen met de factoren tijd en onzekerheid.

In het artikel stellen ze dat de prijsvorming van opties afhankelijk is van:

• de volatiliteit ofwel de mate waarmee fluctuaties optreden in de tijd. Opties waarvan de onderliggende waarden veel volatiliteit vertonen, hebben een hogere risicograad en daarmee een hogere prijs of risicopremie. De standaarddeviatie is de maatstaf waarmee het risico wordt gemeten;
• de uitoefenprijs waartegen de koper het optierecht kan uitoefenen;
• de lengte van de periode waarover het recht geldt, tot het moment dat de optie expireert, over het algemeen geldt: hoe langer de (resterende) periode, hoe hoger het risico en hoe hoger de optiepremie;
• de intrestvoet.

Het Black-Scholes-model wordt in het algemeen gebruikt om de (theoretische) waarde van Europese opties te berekenen. De formule vergemakkelijkt bovendien de prijsbepaling van optiecontracten die niet op de beurs worden verhandeld en waarvoor geen officiële marktnotering beschikbaar is. Dit is belangrijk aangezien het volume van onderhands ('over the counter') verhandelde contracten dat van de op de beurs verhandelde opties ruim overtreft. Voor beursgenoteerde opties biedt de formule een betrouwbaar hulpmiddel om onder- of overgewaardeerde opties te identificeren.

Het model is gebaseerd op een aantal aannames:

• De volatiliteit en de intrestvoet worden tot aan het expiratiemoment constant verondersteld.
• Toekomstige prijsontwikkeling vindt plaats onafhankelijk van prijsontwikkelingen in het verleden.
• Er wordt geen rekening gehouden met mogelijk bijkomende heffingen, toeslagen en belastingen.
• De waarschijnlijkheidsverdeling van de (relatieve) prijsveranderingen in de tijd is 'lognormaal' verdeeld (dat wil zeggen gemiddelde en afwijkingen worden gemeten aan de hand van een natuurlijk-logaritmische (In) schaal). Deze verdeling levert geringere afwijkingen van het gemiddelde en minder extreme waarden op.
• In het oorspronkelijke model wordt geen rekening gehouden met (mogelijke) dividenduitkeringen (in het door Merton aangepaste model is dit wel het geval).

De mathematische uitwerking van het model ziet er op het eerste gezicht indrukwekkend uit, maar is feitelijk niet meer dan een hulpmiddel om op een gemakkelijke manier met behulp van slechts vijf invoervariabelen tot de waarde van een optie te komen.

We nemen als voorbeeld de prijsvorming voor een calloptie op een aandeel van onderneming ABC, uitgaande van de volgende gegevens:

Veronderstel de situatie waarin de huidige aandelenkoers € 52 is. Persoon X beschikt over de optie om dit aandeel over een half jaar te kopen voor de prijs van € 50 (dat wil zeggen intrinsieke waarde van € 52 – € 50= € 2).

De risicovrije intrest is 10% per jaar en de volatiliteit 20%.

We bereken met behulp van de Black-Scholes-formule de theoretische optiewaarde van de call ABC en vergelijken deze met de actuele beurskoers van € 5,95.

We doen hetzelfde voor de putoptie en vergelijk deze met de actuele koers van € 1,05.

In het werkblad Black-Scholes-prijsberekening voor call- en putopties zijn de ons bekende gegevens ingevoerd in B2:B6.

De hulpvariabelen van de Black-Scholes-formule zijn voor de call als volgt berekend:

De hulpvariabelen voor de put zijn als volgt bepaald:

De uiteindelijke prijsvergelijking voor de call is terug te vinden in B12:

De uiteindelijke prijsvergelijking voor de put is terug te vinden in B18:

Nadere uitleg bij het resultaat

Om tot de prijs van een optie te komen berekenen we eerst de hulpparameters d₁ en d₂ (call) respectievelijk -d₁ en -d₂ (put).

Door invulling van de berekende hulpparameters d₁ en d₂ wordt vervolgens met behulp van de (statistische) Excel-functie STAND.NORM.VERD(Z) – zoals in onderstaand dialoogvenster als voorbeeld voor cel B10 – de 'cumulatieve normale standaardverdeling' N(d) bepaald in de cellen B10, B11, B16 en B17:

Om deze functie te verklaren maken we een uitstapje naar de standaardnormale verdeling die we eerder onder 'Rente-, valuta- en rendementsrisico' bekeken in het kader van de risicometing van verschillende beleggingsvormen.

We zagen daar dat – bij een normale verdeling – de kansverdeling van waarnemingen er idealiter als volgt uitziet:

Hierop sluit – gemeten in standaarddeviaties (SD) – de volgende standaardnormale kansverdeling aan:

• tussen de grenzen van -1 SD en +1 SD bevindt zich 68,26% van de waarnemingen;
• tussen de grenzen van -2 SD en +2 SD bevindt zich 95,44% van de waarnemingen;
• tussen de grenzen van -3 SD en +3 SD bevindt zich 99,84% van de waarnemingen.

We kunnen ons vanuit deze grafische voorstelling ook de vraag stellen wat de waarschijnlijkheid is dat een waarneming zich bevindt beneden of boven een bepaalde waarde.

De kans dat bijvoorbeeld een waarneming zich beneden de grens van het gemiddelde bevindt (= 0 bij de standaardnormale verdeling) is gelijk aan 50%, het linkerdeel van de perfect symmetrische grafiek.

In statistische taal zeggen we dan dat de cumulatieve waarschijnlijkheid gelijk is aan 50%, ofwel N(0) = 50%.

Hiervoor kunnen we de Excel functie STAND.NORM.VERD(Z) gebruiken, waarvoor we nu 0 voor de Z-waarde invullen:

Als resultaat zien we inderdaad 0,5 (= 50%) verschijnen.

De cumulatieve waarschijnlijkheidsrekening maakt dus deel uit van het Black-Scholes-model in de cellen B10, B11, B16 en B17.

De berekende prijs voor de call bedraagt € 5,56 (B12) en is dus ten opzichte van de actuele koers van € 5,95 enigszins ondergewaardeerd.

Voor de put geldt het omgekeerde: bij een berekende prijs van € 1,12 (B18) en een actuele koers van € 1,05 is de put juist enigszins overgewaardeerd.

NB.
De term e^-r*t, die zowel in de prijsvergelijking van de call als de put terugkomt, verheft de constante e tot de macht van het ingevulde getal (-r*t). De constante e is daarbij gelijk aan 2,71828182845904, het grondtal voor een zogenaamde natuurlijke logaritme.

Voor deze e-term werken we binnen Excel met de functie EXP(Getal), zoals we zien in cel B12 (callprijsformule) en B18 (putprijsformule).

In het rekenvoorbeeld is de term e^-r*t als volgt berekend in de prijsformule van de call (B12) en de put (B18):